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ゆるふわめも

in Kyoto or Tokyo

線形代数A後半の範囲の概略:メモ

線型写像

定義

{ \displaystyle
  A = \left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right)\\ \\
と \vec{x} \in R^n が存在するとき、 f(\vec{x}) = A \vec{x} と定義する。
}

つまり、{ \displaystyle R^n }から{ \displaystyle R^m }への写像を定義したことになる、この関数fは以降{ \displaystyle f:R^n -> R^m }と言った表記で表される。このような行列で定義された写像は線型性とよばれる性質をもつ。

線形性

  • { \displaystyle f(\vec{a} + \vec{b}) = f(\vec{a}) + f(\vec{b}) }
  • { \displaystyle f(r_1\vec{a}) = r_1f(\vec{a}) }

(記号とかは前半の記事に同じ)
の性質が満たされる写像は線型性がある、という。

写像の条件が与えられたときのその写像を表す行列の求め方

  • 写像元の空間の基底を初めに求める
  • つぎに、その基底を写像したときの写像先の座標を求める、それを{ \displaystyle \vec{a_i}  }とする。
  • { \displaystyle \vec{a_1},\vec{a_2},\dots ,\vec{a_n}  })がその写像を表す行列である。

線型写像の性質

ゼロベクトルの写像

ゼロベクトルは必ずゼロベクトルに写像される。

カーネルとイメージ

新しく、以下を定義する。

  • { \displaystyle Ker(f) = \{\vec{x} \in R^n | f(\vec{x}) = \vec{0} \} }
  • { \displaystyle Img(f) = \{\vec{x'} \in R^m| f(\vec{x}) = \vec{x'} , \vec{x} \in R^n  \} }

つまり、カーネルとはゼロベクトルに写像される点の集合、イメージは写像される先の集合。
そして、カーネル{ \displaystyle R^n }の、イメージは{ \displaystyle R^m }の部分(ベクトル)空間になる。

線型写像が与えられたときのそのカーネルとイメージの基底を求める

{ \displaystyle
  A = \left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right)\\ \\
}
が与えられたとして、この行列のカーネルとイメージの基底を求めたい。

  • 初めに{ \displaystyle \vec{x} \in R^n }の任意のベクトルをあらわすものを{ \displaystyle \vec{x}}とかくことにする
  • 次に

{ \displaystyle  A\vec{x} =  x_1 \left(
    \begin{array}{c}
      a_{11} \\
      \vdots \\
      a_{m1} 
    \end{array}
  \right) + \dots + x_m \left(
    \begin{array}{c}
      a_{1n} \\
      \vdots \\
      a_{mn} 
    \end{array}
  \right)}と記述

  • ここから、イメージはAの列ベクトルの一次結合で記述できると確認
  • つまり、このAを簡約して主成分の数を求めて、イメージの基底を求めることができる
  • 次にカーネルを求めるために

{ \displaystyle
  A\vec{x} =  \left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right) \vec{x} = \vec{0}
}を満たす{ \displaystyle \vec{x} }からなる部分空間の基底を求めるが、これは単純にこの式を一次連立方程式の解を求めるのと同じようにとけばよい

  • つまり、簡約して主成分をもとめる、その解に含まれる基底がカーネルの基底。

また dim (Ker f) + dim (Img f) = n という式が必ず成り立つことを利用して基底の数が正しいかを確認できる。

以下、行列式の章は途中段階