線型写像
線型写像の性質
線型写像が与えられたときのそのカーネルとイメージの基底を求める
が与えられたとして、この行列のカーネルとイメージの基底を求めたい。
- 初めにの任意のベクトルをあらわすものをとかくことにする
- 次に
と記述
- ここから、イメージはAの列ベクトルの一次結合で記述できると確認
- つまり、このAを簡約して主成分の数を求めて、イメージの基底を求めることができる
- 次にカーネルを求めるために
を満たすからなる部分空間の基底を求めるが、これは単純にこの式を一次連立方程式の解を求めるのと同じようにとけばよい
- つまり、簡約して主成分をもとめる、その解に含まれる基底がカーネルの基底。
また dim (Ker f) + dim (Img f) = n という式が必ず成り立つことを利用して基底の数が正しいかを確認できる。
以下、行列式の章は途中段階