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母分散の信頼区間を求める過程：めも

情報・数理

{ \displaystyle 　X = \sum_{k = 1}^{N} \frac{ ( x_i - \bar{x} )^2 }{ \sigma }\\ 　\\ 　なる変数tを作ること、ただし \\ 　\bar{x} := 標本平均\\ 　\hat{s} := 標本分散\\ 　N := 標本数\\ 　また以降では 　p := 信頼区間の信頼度によってかわる変数 }
注:この変数Xは自由度N - 1のχ二乗分布（chi square）に従う。

このχ二乗分布に従うことを利用すれば、母分散の信頼区間は

{ \displaystyle \frac{ Ns^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1} (\frac{p}{2} ) } \leq {\sigma}^2 \leq \frac{ Ns^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1}(1 - \frac{p}{2})} }

とすれば区間推定ができる。データ数が多いと標本分散を使っても問題ないが、データ数が少ない時は不偏分散を用いる必要があって

{ \displaystyle \frac{ (N - 1)s^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1}(\frac{p}{2}) } \leq {\sigma}^2 \leq \frac{ (N - 1)s^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1}(1 - \frac{p}{2})} }

とすればよい。

参考文献

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