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ゆるふわめも

in Kyoto or Tokyo

母分散の信頼区間を求める過程:めも

{ \displaystyle
 X = \sum_{k = 1}^{N} \frac{ ( x_i - \bar{x} )^2 }{ \sigma }\\
 \\
 なる変数tを作ること、ただし
\\
 \bar{x} := 標本平均\\
 \hat{s} := 標本分散\\
 N := 標本数\\ 
 また以降では
 p := 信頼区間の信頼度によってかわる変数

}
注:この変数Xは自由度N - 1のχ二乗分布(chi square)に従う。

このχ二乗分布に従うことを利用すれば、母分散の信頼区間

{ \displaystyle

\frac{ Ns^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1} (\frac{p}{2} ) } 
\leq {\sigma}^2  \leq  \frac{ Ns^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1}(1 - \frac{p}{2})}   

}

とすれば区間推定ができる。データ数が多いと標本分散を使っても問題ないが、データ数が少ない時は不偏分散を用いる必要があって

{ \displaystyle

\frac{ (N - 1)s^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1}(\frac{p}{2}) }
  \leq {\sigma}^2 \leq  \frac{ (N - 1)s^2 }{ {{\chi}^2}_{N-1}(1 - \frac{p}{2})}

}

とすればよい。

参考文献