追記:以下の手法は2019/7以前のものです。
音楽再生ボットは音量設定によっては大音量になってしまうのでサーバーに居る方に事前に音量を注意するよう通知した方がいいです。各ボットは基本的に無料ですが、利用規約やドキュメントに目を通してください。
FredBoat
https://fredboat.jp/quickstart/
クイックスタートのページの”ボットの設定”にボットを自分のサーバーに招待するためのリンクがあります。
;;play前回とまった箇所から音楽を再生.;;play url指定されたURLから音楽を再生.;;queue現在のプレイリストを表示.;;skip現在の曲をキューから削除.;;stopプレイヤーを停止しプレイリストを全部消す.;;repeat single,;;repeat all現在の曲、プレイリスト全体をリピートし続ける.
このボットは;;stopをせずに通話チャンネルを抜けると、次回;;playとした時に前回の続きから再生します。また、通話を抜けたタイミングで自動的に再生がストップします。クイックスタートのページやドキュメントに他コマンドの詳細があります。
Rythm

?play前回とまった箇所から音楽を再生.?play url指定されたURLから音楽を再生.?skip現在の曲をスキップ.?loop現在の曲をリピートし続ける.?loopqueueキュー(プレイリスト全体)をリピートし続ける.?pause,?resume再生を止める、再生を止めたところから始める
このボットを放置して通話を抜けると、しばらく再生し続けたのちに自動的にストップして通話を抜けます。また、その際にプレイリストは自動的に削除されます。他コマンドの詳細はこちら。
Dyno
Dynoボットを自分のサーバーに招待。 以下のページの左上の「invite Dyno」で自分のいるサーバーに招待します。
@dyno play https://www.youtube.com/watch?v=e9yZkmgE-m8とテキストチャンネルに書き込むと、自分のいるボイスチャンネルで音楽を流してくれます。
他のコマンドはこちらを参照してください。